之前一直不是很理解moment generating function（MGF）。今天终于狠下心挖一挖MGF，在这里做一个小结，也是终于是帮我搞懂了moment和MGF的作用。大家如果也不明白的可以抽几分钟看看这篇文章。

首先，什么是moment？

moment在统计学中表示的是期望，比如 E （ X ） ， E （ X 2 ） ， … ， E（X），E（X^2），…， E（X），E（X2），…， 分别表示某个分布的first moment，second moment，…

那么这些期望值在统计学中有什么运用呢，比较简单的，大家都知道first moment表达的是某种分布的期望，而second moment某种程度则能够反映该分布的variance，因为我们有 σ 2 = E （ X 2 ） − E （ X ） 2 \sigma^2 = E（X^2）- E（X）^2 σ2=E（X2）−E（X）2。但是third和fourth moment同样也是反映分布特性的重要参数，比如third moment反映的是该分布的不对称性（asymmetry），也可以说成是倾斜度？（skewness），表达成公式是 s k e w n e s s = E （ （ x − μ ） 3 ） / σ 3 skewness = E（（x-\mu）^3）/\sigma^3 skewness=E（（x−μ）3）/σ3；fourth moment反映的则是峰度（kurtosis：how heavy its tails are）， k u r t o s i s = E （ （ x − μ ） 4 ） / σ 4 kurtosis = E（（x-\mu）^4）/\sigma^4 kurtosis=E（（x−μ）4）/σ4。所以对我们来说，momnet是反映某样本分布很重要的参数。

然后我们接着看什么是moment generating function（MGF），我理解的是MGF是为了构建一个帮助大家求解moment的一个工具式的函数（像它的名字一样，to generate moment），首先我们看momnet的求法: E ( X n ) = ∫ − ∞ ∞ π n × p d f ( x ) d x E(X^n) =\int_{-\infty}^{\infty}{\pi^n}\times pdf(x) dx E(Xn)=∫−∞∞​πn×pdf(x)dx

而MGF是: M G F ( t ) = E ( e t x ) = MGF(t) = E(e^{tx}) = {} MGF(t)=E(etx)= M G F ( t ) = E ( e t x ) = { ∑ e t x × p ( x ) , x : d i s c r e t e ; p ( x ) : p m f ∫ e t x × f ( x ) , x : c o n t i n o u s ; f ( x ) : p d f MGF(t)=E(e^{tx})=\left\{ \begin{aligned} & \sum e^{tx}\times p(x), x: discrete; p(x): pmf \\ & \int e^{tx}\times f(x), x: continous; f(x): pdf \\ \end{aligned} \right. MGF(t)=E(e